Каталановы тела

Тема статьи: Каталановы тела - разбираемся в вопросе, тренды 2019 года.

Полуправильные многогранники

Аннотация. Статья посвящена полуправильным многогранникам и их классификации.
Ключевые слова: архимедовы тела, каталановы тела, полуправильные многогранники

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности — от маленького ребенка, играющего с кубиками, до взрослого человека.

Иоганн Кеплер называл куб «родителем» всех правильных многогранников.На основе куба он смог построить все другие виды правильных многогранников.

Правильные многогранники окружают нас везде, кажется что любая вещь состоит из правильных многогранников.А что же такое полуправильные многогранники и почему они так редко используются в окружающем мире?

Архимедовы тела

Впервые многогранники такое типа открыл Архимед.Им подробно описаны 13 многогранников, которые позже в честь великого ученого были названы телами Архимеда.Архимедовы тела частично получаются из Платоновых тел в результате их усечения.Усеченное тело есть не что иное, как тело с отрезанной верхушкой.Так могут быть получены первые пять архимедовых тел: усеченный тетраэдр (рис.1), усеченный октаэдр (рис.2), усеченный икосаэдр (рис.3), усеченный куб (рис.4), усеченный додекаэдр (рис.5).Вторая группа архимедовых тел представлена двумя многогранниками, являющимися результатом пересечения двух Платоновых тел подходящих размеров и расположенных так, что их центры совпадают.Это кубооктаэдр (рис.6) — результат пересечения куба и октаэдра и икос, икосододекаэдр (рис.7) — результат пересечения икосаэдра и додекаэдра.В результате усечения кубооктаэдра и икосододекаэдра получены следующие два многогранника – ромбокубооктаэдр (рис.8) и ромбоикосододекаэдр (рис.9).Дальнейшее видоизменения могут превратить их в два других многогранника — усеченный кубооктаэдр (рис.10) и усеченный икосододекаэдр (рис.11).Последние два архимедовых тел — «курносый» куб (рис.12) и «курносый» додекаэдр (рис.13).Термин курносый означает, что каждую грань многогранника окружили треугольники, что каждое ребро заменили парой треугольников, а в каждой вершине добавили еще один многоугольник.

Прародителем каждого из 13-ти полуправильных многогранников является один из пяти Платоновых многогранников(рис.14) путем отсечения вершин.При дальнейшем усечении полученных тел мы получаем правильные многогранники, поэтому тел Архимеда только 13.

Каталановы тела

Двойственные архимедовым телам, так называемые каталановы тела, имеют конгруэнтные грани, равные двугранные углы и правильные многогранные углы.Каталановы тела тоже называют полуправильными многогранниками.В этом случае полуправильными многогранниками считается совокупность архимедовых и каталановых тел.Архимедовы тела являются полуправильными многогранниками в том смысле, что их грани — правильные многоугольники, но они не одинаковы, а Каталановы — в том смысле, что их грани одинаковы, но не являются правильными многоугольниками; при этом для тех и других сохраняется условие одного из типов пространственной симметрии: тетраэдрического, октаэдрического или икосаэдрического.

То есть, полуправильными в этом случае называются тела, у которых отсутствует только одно из первых двух из следующих свойств правильных тел:

  • Все грани являются правильными многоугольниками;
  • Все грани одинаковы;
  • Тело относится к одному из трёх существующих типов пространственной симметрии.
  • Архимедовы — тела, у которых отсутствует второе свойство, у каталановых отсутствует первое, третье свойство сохраняется для обоих видов тел.

    Существует 13 архимедовых тел, два из которых (курносый куб и курносый додекаэдр) не являются зеркально-симметричными и имеют левую и правую формы.Соответственно, существует 13 каталановых тел.

    Систематизация названий
    1.
    Усеченный октаэдр:

    Многие названия созданы на основе греческих приставок, означающих количество граней и корня — едр, означающего грань.

    (-hedron — буквально значит место).

    Октаэдр (от греч.οκτώ, «восемь»)

    2.Усеченный икосододекаэдр:

    икосо — (ikosi-) значит 20

    додека — значит 2+10

    -едр, означает грань

    усечение (truncate) отсечение угла многогранника вокруг его вершины

    3.Усеченный куб:

    усечение (truncate) отсечение угла многогранника вокруг его вершины

    4.Усеченный икосаэдр:

    усечение (truncate) отсечение угла многогранника вокруг его вершины

    икосо — (ikosi-) значит 20

    -едр, означает грань

    5.Усеченный додекаэдр:

    Додека — значит 2+10 и используется для описания двенадцатигранника.

    -едр, означает грань

    усечение (truncate) отсечение угла многогранника вокруг его вершины

    6.Курносый додекаэдр:

    Додека — значит 2+10 и используется для описания двенадцатигранника.

    7.Усеченный тетраэдр:

    тетра — (tetra) – четыре.

    Додека — значит 2+10 и используется для описания двенадцатигранника.

    икосо — (ikosi-) значит 20

    Октаэдр (от греч.οκτώ, «восемь»)

    11.Усеченный кубооктаэдр:

    усечение (truncate) отсечение угла многогранника вокруг его вершины

    Октаэдр (от греч.οκτώ, «восемь»)

    Приставки могут описывать форму граней, чтобы устранять противоречия между двумя многогранниками с одинаковым количеством граней.

    икосо — (ikosi-) значит 20

    Додека — значит 2+10 и используется для описания двенадцатигранника.

    Полуправильные многогранники в архитектуре

    Национальная библиотека Беларуси(рис.15).Форма книгохранилища — ромбокубооктаэдр.

    Библиотека — самый крупный из архитектурных ромбокубооктаэдров, возведенных в мире в настоящее время.Его высота составляет 73,6 м (23 этажа), а вес — 115 000 тонн.

    Повторить в архитектуре сложные многогранники (особенно, архимедовы тела — к которым, в том числе, относится и ромбокубооктаэдр) действительно нелегко.И если случается, то в меньшем масштабе, чем Нацбиблиотека, и усеченной форме.

    Благодаря оригинальному архитектурному решению в новом здании НББ стало возможным гармонично совмещать искусственные и естественные материалы для отделки интерьеров, создать особый световой колорит во внутреннем пространстве библиотеки за счет сочетания естественного света с искусственным освещением и обеспечить психологический комфорт посетителей и сотрудников


    Рис.16
    Музей архитектуры Тойо Ито(рис.16) на острове Омишима (Япония) — в основе дизайна музея лежат геометрические фигуры: октаэдр, тетраэдр и кубооктаэдр.

    Рис.17
    Здание Международного экономического комитета в Киеве(рис.17), купол конференц-зала своими гранями образует икосододекаэдр.

    Рис.18
    Ботанический сад «Эдем»(рис.18) в Корнуолле (Великобритания) был построен в 2001 году на месте выработанного мелового карьера, а для конструкций сводов использовались формы шестигранных сот.А это еще один вид многогранников — усеченный икосаэдр.Состоит из 12-ти пятиугольников и 20-ти шестиугольников.

    Рис.19
    Усеченная пирамида пользуется популярностью у современных архитекторов.Например, в Индианополисе (США) в 1972 году закончили строительство офисного комплекса из трех зданий, который так и назвали — The Pyramids(рис.19).Сейчас в нем расположен Институт искусства Индианополиса.

    Полуправильные многогранники в привычных вещах

    Кресло Hedronics (рис.20) разработано известным немецким архитектором Даниелем Дендра (Баухаус) специально для недели российского дизайна Sretenka Design Week.В основе форм кресла лежит многогранник производный от плосконосого куба.Подобно оригами, кресло Hedronics выполняется из цельного листа металла и воплощает математическую гармонию строгих геометрических форм.Кресло может быть выполнено из цельного листа металла или из листа с декоративной перфорацией.Перфорированное кресло весит немного и выглядит наполненным воздушными пузырьками.


    Рис.21

    Всемирно известный художник и дизайнер из Дании Олафур Элиассон, выставка которого проходит сейчас в Tate Modern, создал новую световую инсталляцию Your Sound Galaxy (рис.21).Работа состоит из 27 многогранников, свисающих с потолка в виде двух концентрических кругов.Каждая объемная фигура снабжена светодиодом, который освещает пространство сквозь стыки составляющих частей многогранника.
    Инсталляцию Your Sound Galaxy нельзя назвать такой прогрессивной и социально важной, однако она, как и многие другие работы Элиассона, выглядит очень загадочно и меняет пространство с помощью света.

    Рис.22 Сравнение усечённого икосаэдра(слева) с футбольным мячом

    Конструкция из этих 32 многоугольников называется усечённый икосаэдр(рис.22) — достаточно близкая к шару геометрическая фигура, компромисс между несферичностью и количеством швов на покрышке.Сферическая форма придаётся мячу за счёт давления воздуха, закачанного внутрь.

    Флористы повинуясь законам математики создают гармоничные букеты на основе полуправильных многогранников(рис.23).На приведенной фотографии букет состоит из элементов двух типов: соприкасающихся крупных роз и заполняющих просветы мелких цветов.В такой форме букета угадывается усеченный додекаэдр, состоящий из 20треугольников и 12десятиугольников.

    Ссылки на источники

    1. Каченовский М.И.Математический практикум по моделированию.-1959.-190с.
    2. Мотульский Р.С.Национальная библиотека Беларуси: новое здание – новая концепция развития / Национальная библиотека Беларуси.– Минск, 2007.– 322 с.
    3. Смирнов В.А., Смирнова И.М., Ященко И.В.Наглядная геометрия.-М.:МЦНМО, 2013 -272с
    4. Смирнов В.А., Смирнова И.М., Ященко И.В.Наглядная геометрия.Рабочая тетрадь №4.М.:МЦНМО, 2012 -88с
    5. Смирнова И., Смирнов В.Что такое «Полуправильный многогранник» Учебно-методическая газета «Математика».- 2007 .-№16-с.23-26
    6. Тиморин В.А.Комбинаторика выпуклых многогранников.-М.: МЦНМО, 2002.-16с.
    7. Geometryim.ru
    8. Arhimedgeom.ru
    9. Icosogeom.ru
    10. ru.wikipedia.org/

    1.Каченовский М.И.Математический практикум по моделированию.-1959.-190с.

    2.Мотульский Р.С.Национальная библиотека Беларуси: новое здание – новая концепция развития / Национальная библиотека Беларуси.– Минск, 2007.– 322 с.

    3.Смирнов В.А., Смирнова И.М., Ященко И.В.Наглядная геометрия.-М.:МЦНМО, 2013 -272с

    4.Смирнов В.А., Смирнова И.М., Ященко И.В.Наглядная геометрия.Рабочая тетрадь №4.М.:МЦНМО, 2012 -88с

    5.Смирнова И., Смирнов В.Что такое «Полуправильный многогранник» Учебно-методическая газета «Математика».- 2007 .-№16-с.23-26

    6.Тиморин В.А.Комбинаторика выпуклых многогранников.-М.: МЦНМО, 2002.-16с.

    Каталановы тела

    Wikimedia Foundation .2010 .

    Смотреть что такое «Каталановы тела» в других словарях:

    Платона тела — Додекаэдр Правильный многогранник, или Платоново тело это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией.Многогранник называется правильным, если: он выпуклый все его грани являются равными правильными многоугольниками в каждой его… … Википедия

    Платоновы тела — Додекаэдр Правильный многогранник, или Платоново тело это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией.Многогранник называется правильным, если: он выпуклый все его грани являются равными правильными многоугольниками в каждой его… … Википедия

    Полуправильный многогранник — Полуправильные многогранники в общем случае это различные выпуклые многогранники, имеющие определённые признаки правильных, такие как одинаковость всех граней или являемость всех граней правильными многоугольниками, а также пространственная … Википедия

    Полуправильные многогранники — или Архимедовы тела выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами: Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани правильные многоугольники одного типа, это правильный многогранник); Для любой пары… … Википедия

    Правильный многогранник — Додекаэдр Правильный многогранник или платоново тело это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией … Википедия

    Додекаэдр — Тип Правильный многогранник Грань Правильный пятиугольник Граней 12 Рёбер 30 Вершин 20 … Википедия

    Икосаэдр — анимация Тип Правильный многогранник Грань Правильный треугольник Граней 20 … Википедия

    Куб — У этого термина существуют и другие значения, см.Куб (значения).Куб Тип Правильный многогранник Грань квадрат … Википедия

    Многогранник — В Викисловаре есть статья «многогранник» … Википедия

    Икозаэдрон — Икосаэдр Для увеличения, щёлкните по картинке.Щёлкните по ссылке, чтобы просмотреть вращение фигуры.Тип Правильный многогранник Грань Правильный треугольник Граней 20 Рёбер 30 Вершин … Википедия

    Полуправильный многогранник

    Полуправильные многогранники — в общем случае это различные выпуклые многогранники, которые, не являясь правильными, имеют некоторые их признаки, например: все грани равны, или все грани являются правильными многоугольниками, или имеются определённые пространственные симметрии.Определение может варьироваться и включать различные типы многогранников, но в первую очередь сюда относятся архимедовы тела.

    Содержание

    Архимедовы тела

    Архимедовы тела — выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами:

  • Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани — правильные многоугольники одного типа, это — правильный многогранник, или платоново тело);
  • для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение, переводящее многогранник в себя), переводящая одну вершину в другую.В частности,
  • все многогранные углы при вершинах конгруэнтны.
  • Первое построение полуправильных многогранников приписывается Архимеду, хотя соответствующие работы утеряны.

    Каталановы тела

    Двойственные архимедовым телам, так называемые каталановы тела, имеют конгруэнтные грани (переводимые друг в друга сдвигом, вращением или отражением), равные двугранные углы и правильные многогранные углы.Каталановы тела тоже иногда называют полуправильными многогранниками.В этом случае полуправильными многогранниками считается совокупность архимедовых и каталановых тел.Архимедовы тела являются полуправильными многогранниками в том смысле, что их грани — правильные многоугольники, но они не одинаковы, а каталановы — в том смысле, что их грани одинаковы, но не являются правильными многоугольниками; при этом для тех и других сохраняется условие одного из типов пространственной симметрии: тетраэдрического, октаэдрического или икосаэдрического.

    То есть, полуправильными в этом случае называются тела, у которых отсутствует только одно из первых двух из следующих свойств правильных тел:

  • Все грани являются правильными многоугольниками;
  • Все грани одинаковы;
  • Тело относится к одному из трёх существующих типов пространственной симметрии.
  • Архимедовы — тела, у которых отсутствует второе свойство, у каталановых отсутствует первое, третье свойство сохраняется для обоих видов тел.

    Существует 13 архимедовых тел, два из которых (курносый куб и курносый додекаэдр) не являются зеркально-симметричными и имеют левую и правую формы.Соответственно, существует 13 каталановых тел.

    Список полуправильных многогранников



    Помимо архимедовых и каталановых тел, существуют бесконечные последовательности многогранников, относимых к полуправильным: те правильные призмы и правильные антипризмы, у которых все рёбра равны.

    Использование

    Каталановы тела — наряду с платоновыми телами, равногранными бипирамидами и трапецоэдрами — используются в качестве игральных костей в некоторых настольных играх (см.фотографии).Архимедовы тела, у которых грани не равноправны и потому имеют разные шансы выпадения, для этой цели мало пригодны.

    Напишите отзыв о статье «Полуправильный многогранник»

  • Ашкинузе В.Г. [ilib.mccme.ru/djvu/mp2/mp2-1.djvu О числе полуправильных многогранников] // Математическое просвещение.Вторая серия.— 1957.— Вып.1 .— С.107-118 .
  • Отрывок, характеризующий Полуправильный многогранник

    Никто не приказывал Тушину, куда и чем стрелять, и он, посоветовавшись с своим фельдфебелем Захарченком, к которому имел большое уважение, решил, что хорошо было бы зажечь деревню.«Хорошо!» сказал Багратион на доклад офицера и стал оглядывать всё открывавшееся перед ним поле сражения, как бы что то соображая.С правой стороны ближе всего подошли французы.Пониже высоты, на которой стоял Киевский полк, в лощине речки слышалась хватающая за душу перекатная трескотня ружей, и гораздо правее, за драгунами, свитский офицер указывал князю на обходившую наш фланг колонну французов.Налево горизонт ограничивался близким лесом.Князь Багратион приказал двум баталионам из центра итти на подкрепление направо.Свитский офицер осмелился заметить князю, что по уходе этих баталионов орудия останутся без прикрытия.Князь Багратион обернулся к свитскому офицеру и тусклыми глазами посмотрел на него молча.Князю Андрею казалось, что замечание свитского офицера было справедливо и что действительно сказать было нечего.Но в это время прискакал адъютант от полкового командира, бывшего в лощине, с известием, что огромные массы французов шли низом, что полк расстроен и отступает к киевским гренадерам.Князь Багратион наклонил голову в знак согласия и одобрения.Шагом поехал он направо и послал адъютанта к драгунам с приказанием атаковать французов.Но посланный туда адъютант приехал через полчаса с известием, что драгунский полковой командир уже отступил за овраг, ибо против него был направлен сильный огонь, и он понапрасну терял людей и потому спешил стрелков в лес.
    – Хорошо! – сказал Багратион.
    В то время как он отъезжал от батареи, налево тоже послышались выстрелы в лесу, и так как было слишком далеко до левого фланга, чтобы успеть самому приехать во время, князь Багратион послал туда Жеркова сказать старшему генералу, тому самому, который представлял полк Кутузову в Браунау, чтобы он отступил сколь можно поспешнее за овраг, потому что правый фланг, вероятно, не в силах будет долго удерживать неприятеля.Про Тушина же и баталион, прикрывавший его, было забыто.Князь Андрей тщательно прислушивался к разговорам князя Багратиона с начальниками и к отдаваемым им приказаниям и к удивлению замечал, что приказаний никаких отдаваемо не было, а что князь Багратион только старался делать вид, что всё, что делалось по необходимости, случайности и воле частных начальников, что всё это делалось хоть не по его приказанию, но согласно с его намерениями.Благодаря такту, который выказывал князь Багратион, князь Андрей замечал, что, несмотря на эту случайность событий и независимость их от воли начальника, присутствие его сделало чрезвычайно много.Начальники, с расстроенными лицами подъезжавшие к князю Багратиону, становились спокойны, солдаты и офицеры весело приветствовали его и становились оживленнее в его присутствии и, видимо, щеголяли перед ним своею храбростию.

    Князь Багратион, выехав на самый высокий пункт нашего правого фланга, стал спускаться книзу, где слышалась перекатная стрельба и ничего не видно было от порохового дыма.Чем ближе они спускались к лощине, тем менее им становилось видно, но тем чувствительнее становилась близость самого настоящего поля сражения.Им стали встречаться раненые.Одного с окровавленной головой, без шапки, тащили двое солдат под руки.Он хрипел и плевал.Пуля попала, видно, в рот или в горло.Другой, встретившийся им, бодро шел один, без ружья, громко охая и махая от свежей боли рукою, из которой кровь лилась, как из стклянки, на его шинель.Лицо его казалось больше испуганным, чем страдающим.Он минуту тому назад был ранен.Переехав дорогу, они стали круто спускаться и на спуске увидали несколько человек, которые лежали; им встретилась толпа солдат, в числе которых были и не раненые.Солдаты шли в гору, тяжело дыша, и, несмотря на вид генерала, громко разговаривали и махали руками.Впереди, в дыму, уже были видны ряды серых шинелей, и офицер, увидав Багратиона, с криком побежал за солдатами, шедшими толпой, требуя, чтоб они воротились.Багратион подъехал к рядам, по которым то там, то здесь быстро щелкали выстрелы, заглушая говор и командные крики.Весь воздух пропитан был пороховым дымом.Лица солдат все были закопчены порохом и оживлены.Иные забивали шомполами, другие посыпали на полки, доставали заряды из сумок, третьи стреляли.Но в кого они стреляли, этого не было видно от порохового дыма, не уносимого ветром.Довольно часто слышались приятные звуки жужжанья и свистения.«Что это такое? – думал князь Андрей, подъезжая к этой толпе солдат.– Это не может быть атака, потому что они не двигаются; не может быть карре: они не так стоят».
    Худощавый, слабый на вид старичок, полковой командир, с приятною улыбкой, с веками, которые больше чем наполовину закрывали его старческие глаза, придавая ему кроткий вид, подъехал к князю Багратиону и принял его, как хозяин дорогого гостя.Он доложил князю Багратиону, что против его полка была конная атака французов, но что, хотя атака эта отбита, полк потерял больше половины людей.Полковой командир сказал, что атака была отбита, придумав это военное название тому, что происходило в его полку; но он действительно сам не знал, что происходило в эти полчаса во вверенных ему войсках, и не мог с достоверностью сказать, была ли отбита атака или полк его был разбит атакой.В начале действий он знал только то, что по всему его полку стали летать ядра и гранаты и бить людей, что потом кто то закричал: «конница», и наши стали стрелять.И стреляли до сих пор уже не в конницу, которая скрылась, а в пеших французов, которые показались в лощине и стреляли по нашим.Князь Багратион наклонил голову в знак того, что всё это было совершенно так, как он желал и предполагал.Обратившись к адъютанту, он приказал ему привести с горы два баталиона 6 го егерского, мимо которых они сейчас проехали.Князя Андрея поразила в эту минуту перемена, происшедшая в лице князя Багратиона.Лицо его выражало ту сосредоточенную и счастливую решимость, которая бывает у человека, готового в жаркий день броситься в воду и берущего последний разбег.Не было ни невыспавшихся тусклых глаз, ни притворно глубокомысленного вида: круглые, твердые, ястребиные глаза восторженно и несколько презрительно смотрели вперед, очевидно, ни на чем не останавливаясь, хотя в его движениях оставалась прежняя медленность и размеренность.

    Полуправильный многогранник

    Полуправильные многогранники — в общем случае это различные выпуклые многогранники, которые, не являясь правильными, имеют некоторые их признаки, например: все грани равны, или все грани являются правильными многоугольниками, или имеются определённые пространственные симметрии.Определение может варьироваться и включать различные типы многогранников, но в первую очередь сюда относятся архимедовы тела.

    Архимедовы тела

    Архимедовы тела — выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами:

  • Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани — правильные многоугольники одного типа, это — правильный многогранник, или платоново тело);
  • для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение, переводящее многогранник в себя), переводящая одну вершину в другую.В частности,
  • все многогранные углы при вершинах конгруэнтны.
  • Первое построение полуправильных многогранников приписывается Архимеду, хотя соответствующие работы утеряны.

    Каталановы тела

    Тела, двойственные архимедовым, так называемые каталановы тела, имеют конгруэнтные грани (переводимые друг в друга сдвигом, вращением или отражением), равные двугранные углы и правильные многогранные углы.Каталановы тела тоже иногда называют полуправильными многогранниками.В этом случае полуправильными многогранниками считается совокупность архимедовых и каталановых тел.Архимедовы тела являются полуправильными многогранниками в том смысле, что их грани — правильные многоугольники, но они не одинаковы, а каталановы — в том смысле, что их грани одинаковы, но не являются правильными многоугольниками; при этом для тех и других сохраняется условие одного из типов пространственной симметрии: тетраэдрического, октаэдрического или икосаэдрического.

    То есть полуправильными в этом случае называются тела, у которых отсутствует только одно из первых двух из следующих свойств правильных тел:

  • Все грани являются правильными многоугольниками;
  • Все грани одинаковы;
  • Тело относится к одному из трёх существующих типов пространственной симметрии.
  • Архимедовы — тела, у которых отсутствует второе свойство, у каталановых отсутствует первое, третье свойство сохраняется для обоих видов тел.

    Существует 13 архимедовых тел, два из которых (курносый куб и плосконосый додекаэдр) не являются зеркально-симметричными и имеют левую и правую формы.Соответственно, существует 13 каталановых тел.

    Список полуправильных многогранников

    Помимо архимедовых и каталановых тел, существуют бесконечные последовательности многогранников, относимых к полуправильным: те правильные призмы и правильные антипризмы, у которых все рёбра равны.

    Использование

    Каталановы тела — наряду с платоновыми телами, равногранными бипирамидами и трапецоэдрами — используются в качестве игральных костей в некоторых настольных играх (см.фотографии).Архимедовы тела, у которых грани не равноправны и потому имеют разные шансы выпадения, для этой цели мало пригодны.

  • Ашкинузе В.Г.О числе полуправильных многогранников // Математическое просвещение.Вторая серия.— 1957.— Вып.1 .— С.107-118 .
  • Залгаллер В.А.Выпуклые многогранники с правильными гранями// Записки научных семинаров ЛОМИ.Том 2 — 1966.
  • Антипризма

    Антипризма — полуправильный многогранник, у которого две параллельные грани (основания) — равные между собой правильные n-угольники, а остальные 2n граней (боковые грани) — правильные треугольники.

    Октаэдр является антипризмой с треугольными основаниями.Икосаэдр сложен из пятиугольной антипризмы и двух правильных пятиугольных пирамид.

    Гекзакисикоса́эдр (от др.-греч.ἑξάκις — «шестижды», εἴκοσι — «двадцать» и ἕδρα — «грань»), также называемый дисдакистриаконта́эдром (от др.-греч.δίς — «дважды», δυάκις — «два раза», τριάκοντα — «тридцать» и ἕδρα — «грань»), — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный ромбоусечённому икосододекаэдру.

    Составлен из 120 одинаковых разносторонних остроугольных треугольников с углами arccos 9 + 5 5 24 ≈ 32 , 77 ∘ , >><24>>approx 32<,>77^,> arccos 15 − 2 5 20 ≈ 58 , 24 ∘ >><20>>approx 58<,>24^> и arccos 5 − 2 5 30 ≈ 88 , 99 ∘ .>><30>>approx 88<,>99^.>

    Имеет 62 вершины; в 12 вершинах (расположенных так же, как вершины икосаэдра) сходятся своими наименьшими углами по 10 граней, в 20 вершинах (расположенных так же, как вершины додекаэдра) сходятся своими средними по величине углами по 6 граней, в 30 вершинах (расположенных так же, как вершины икосододекаэдра) сходятся своими наибольшими углами по 4 грани.

    У гекзакисикосаэдра 180 рёбер — 60 «длинных» (расположенных так же, как рёбра ромботриаконтаэдра), 60 «средних» и 60 «коротких».Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен arccos ⁡ ( − 179 + 24 5 241 ) ≈ 164 , 89 ∘ .>><241>>right)approx 164<,>89^.>

    Гекзакисикосаэдр можно получить из ромботриаконтаэдра, приложив к каждой грани того неправильную четырёхугольную пирамиду с ромбическим основанием, равным грани ромботриаконтаэдра, и высотой, которая в 2 17 + 31 5 5 ≈ 11 , 11 >><5>>>>approx 11<,>11> раз меньше стороны основания.

    Гекзакисикосаэдр — одно из трёх каталановых тел, в которых существует эйлеров путь.

    Гекзакисокта́эдр (от др.-греч.ἑξάκις — «шестижды», οκτώ — «восемь» и ἕδρα — «грань»), также называемый дисдакисдодека́эдром (от др.-греч.δίς — «дважды», δυάκις — «два раза», δώδεκα — «двенадцать» и ἕδρα — «грань»), — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный ромбоусечённому кубооктаэдру.

    Составлен из 48 одинаковых разносторонних остроугольных треугольников с углами arccos 1 + 6 2 12 ≈ 37 , 77 ∘ , >><12>>approx 37<,>77^,> arccos 6 − 2 8 ≈ 55 , 02 ∘ >><8>>approx 55<,>02^> и arccos 2 − 2 12 ≈ 87 , 20 ∘ .>><12>>approx 87<,>20^.>

    Имеет 26 вершин; в 6 вершинах (расположенных так же, как вершины октаэдра) сходятся своими наименьшими углами по 8 граней, в 8 вершинах (расположенных так же, как вершины куба) сходятся своими средними по величине углами по 6 граней, в 12 вершинах (расположенных так же, как вершины кубооктаэдра) сходятся своими наибольшими углами по 4 грани.

    У гекзакисоктаэдра 72 ребра — 24 «длинных» (расположенных так же, как рёбра ромбододекаэдра), 24 «средних» и 24 «коротких».Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен arccos ⁡ ( − 71 + 12 2 97 ) ≈ 155 , 08 ∘ .>><97>>right)approx 155<,>08^.>

    Гекзакисоктаэдр можно получить из ромбододекаэдра, приложив к каждой грани того неправильную четырёхугольную пирамиду с ромбическим основанием, равным грани ромбододекаэдра, и высотой, которая в 2 1 7 ( 26 + 32 2 ) ≈ 6 , 38 <7>>left(26+32>right)>>approx 6<,>38> раз меньше стороны основания.

    Гекзакисоктаэдр — одно из трёх каталановых тел, в которых существует эйлеров путь.

    Дельтоида́льный икоситетра́эдр (от «дельтоид» и др.-греч.εἴκοσι — «двадцать», τέτταρες — «четыре», ἕδρα — «грань»), также называемый тетрагонтриокта́эдром (от др.-греч.τέτταρες — «четыре», γωνία — «угол», τρία — «три», οκτώ — «восемь» и ἕδρα — «грань»), — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный ромбокубооктаэдру.

    Составлен из 24 одинаковых выпуклых дельтоидов.

    Имеет 26 вершин.В 8 вершинах (расположенных так же, как вершины куба) сходятся по 3 грани своими тупыми углами; в 6 вершинах (расположенных так же, как вершины октаэдра) сходятся по 4 грани острыми углами, противоположными тупому; в остальных 12 вершинах (расположенных так же, как вершины кубооктаэдра) сходятся по 4 грани острыми углами, соседними с тупым.

    Имеет 48 рёбер — 24 «длинных» (вместе образующих нечто вроде «раздутого» остова октаэдра) и 24 «коротких» (образующих «раздутый» остов куба).

    Дельтоидальный икоситетраэдр — одно из шести каталановых тел, в которых нет гамильтонова цикла; гамильтонова пути для всех шести также нет.

    Икосододека́эдр — полуправильный многогранник, состоящий из 32 граней (12 правильных пятиугольников и 20 правильных треугольников).В икосододекаэдре 30 одинаковых вершин, в которых сходятся два треугольника и два пятиугольника, а также 60 одинаковых рёбер, каждое из которых разделяет треугольник и пятиугольник.Двойственный к икосододекаэдру многогранник — ромботриаконтаэдр.

    Для икосододекаэдра с длиной ребра a можно выразить некоторые количественные характеристики:

    Кубоокта́эдр или кубоктаэдр — полуправильный многогранник, состоящий из 14 граней (8 правильных треугольников и 6 квадратов).В кубооктаэдре 12 одинаковых вершин, в которых сходятся два треугольника и два квадрата, а также 24 одинаковых ребра, каждое из которых разделяет треугольник и квадрат.Двойственный к кубооктаэдру многогранник — ромбододекаэдр.

    Кубооктаэдр можно представить как куб, усечённый так, что новые грани начинают касаться, или как столь же сильно усечённый октаэдр.

    Для кубооктаэдра с длиной ребра a можно выразить некоторые количественные характеристики:

    Кубооктаэдрами нельзя замостить трёхмерное пространство, потому что при смыкании квадратов остаётся незанятым пространство в виде октаэдра, а при смыкании треугольников — в виде кубов.

    Одним из символов компьютерной игры Elite стала космическая станция в форме кубооктаэдра, с люком на квадратной стороне.Впоследствии её внесли и в Elite: Dangerous.

    Курно́сый куб, или плосконо́сый куб, — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 38 гранями, составленный из 6 квадратов и 32 правильных треугольников.В каждой из его 24 одинаковых вершин сходятся одна квадратная грань и четыре треугольных.Треугольные грани делятся на две группы: 8 из них окружены только другими треугольными, остальные 24 — квадратной и двумя треугольными.

    Имеет 60 рёбер равной длины.

    Название «курносый куб» (лат.cubus simus) дал этому многограннику Иоганн Кеплер в трактате 1619 года «Гармония мира».Гарольд Коксетер, отметив, что многогранник родствен октаэдру в той же мере, что и кубу, предлагал называть его «курносым кубооктаэдром».

    В отличие от большинства других архимедовых тел, курносый куб (наряду с курносым додекаэдром) является хиральным и существует в двух разных зеркально-симметричных (энантиоморфных) вариантах — «левом» и «правом».

    Пентагона́льный икоситетра́эдр (от др.-греч.πέντε — «пять», γωνία — «угол», εἴκοσι — «двадцать», τέτταρες — «четыре» и ἕδρα — «грань») — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный курносому кубу.Составлен из 24 одинаковых неправильных пятиугольников.

    Имеет 38 вершин.В 6 вершинах (расположенных так же, как вершины октаэдра) сходятся по 4 грани своими острыми углами; в 8 вершинах (расположенных так же, как вершины куба) сходятся по 3 грани теми тупыми углами, которые дальше от острого; в остальных 24 вершинах две грани сходятся своими тупыми углами, ближними к острому, и одна — тупым углом, дальним от острого.

    У пентагонального икоситетраэдра 60 рёбер — 24 «длинных» и 36 «коротких».

    В отличие от большинства других каталановых тел, пентагональный икоситетраэдр (наряду с пентагональным гексеконтаэдром) является хиральным и существует в двух разных зеркально-симметричных (энантиоморфных) вариантах — «левом» и «правом».

    Пентакисдодека́эдр (от др.-греч.πεντάχις — «пятижды», δώδεκα — «двенадцать» и ἕδρα — «грань») — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный усечённому икосаэдру.Составлен из 60 одинаковых остроугольных равнобедренных треугольников, в которых один из углов равен arccos 9 5 − 7 36 ≈ 68 , 62 ∘ , >-7><36>>approx 68<,>62^,> а два других arccos 9 − 5 12 ≈ 55 , 69 ∘ .>><12>>approx 55<,>69^.>

    Имеет 32 вершины; в 12 вершинах (расположенных так же, как вершины икосаэдра) сходятся своими бо́льшими углами по 5 граней, в 20 вершинах (расположенных так же, как вершины додекаэдра) сходятся меньшими углами по 6 граней.

    У пентакисдодекаэдра 90 рёбер — 30 «длинных» (расположенных так же, как рёбра додекаэдра) и 60 «коротких».Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен arccos ⁡ ( − 80 + 9 5 109 ) ≈ 156 , 72 ∘ .>><109>>right)approx 156<,>72^.>

    Пентакисдодекаэдр можно получить из додекаэдра, приложив к каждой его грани правильную пятиугольную пирамиду с основанием, равным грани додекаэдра, и высотой, которая в 65 − 22 5 ≈ 3 , 98 >>>approx 3<,>98> раз меньше стороны основания.При этом полученный многогранник будет иметь по 5 граней вместо каждой из 12 граней исходного — с чем и связано его название.

    Плосконосый додекаэдр, курносый додекаэдр или плосконосый икосододекаэдр — это полуправильный многогранник (архимедово тело), одно из тринадцати выпуклых изогональных [en] непризматических тел, гранями которых являются два или более правильных многоугольника.

    Плосконосый додекаэдр имеет 92 грани (наибольшее количество из всех архимедовых тел), 12 из них являются пятиугольниками, а остальные 80 — правильными треугольниками.У него 150 рёбер и 60 вершин.

    Многогранник имеет две различные формы, являющиеся зеркальными образами [en] (или «энантиоморфным видом») друг друга.Объединение обоих видов образует соединение двух плосконосых додекаэдров [en] , а выпуклая оболочка этой конструкции является ромбоусечённым икосододекаэдром.

    Кеплер первоначально назвал его в 1619 по латински dodecahedron simum в своей книге Harmonices Mundi.Гарольд Коксетер заметил, что многогранник можно получить равным образом из додекаэдра или икосаэдра и назвал его плосконосым икосододекаэдром, с вертикальным символом Шлефли s < 5 3 >5\3end>> .

    Пятиугольная призма — это призма с пятиугольным основанием.Это вид семигранника с 7 гранями, 15 рёбрами и 10 вершинами.

    Ромбоикосододекаэдр — полуправильный многогранник, состоящий из 12 правильных пятиугольников, 30 квадратов и 20 треугольников.Имеет икосаэдрический тип симметрии.В каждой из вершин сходятся треугольник, пятиугольник и 2 квадрата.

    Ромбоикосододекаэдр можно представить либо как додекаэдр, усечённый по вершинам и рёбрам (при этом треугольники соответствуют вершинам додекаэдра, а квадраты — рёбрам), либо как икосаэдр, усечённый таким же образом (при этом пятиугольники соответствуют вершинам икосаэдра, а квадраты — рёбрам), либо же как усечённый икосододекаэдр, чем он по сути и является.

    Ромбокубооктаэдр или ромбокубоктаэдр — полуправильный многогранник, гранями которого являются 18 квадратов и 8 треугольников.Также называется малым ромбокубооктаэдром.

    Тетракисгекса́эдр (от др.-греч.τετράχις — «четырежды», ἕξ — «шесть» и ἕδρα — «грань»), также называемый тетрагекса́эдром или преломлённым ку́бом, — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный усечённому октаэдру.Составлен из 24 одинаковых остроугольных равнобедренных треугольников, в которых один из углов равен arccos 1 9 ≈ 83 , 62 ∘ , <9>>approx 83<,>62^,> а два других arccos 2 3 ≈ 48 , 19 ∘ .<3>>approx 48<,>19^.>

    Имеет 14 вершин; в 6 вершинах (расположенных так же, как вершины октаэдра) сходятся своими бо́льшими углами по 4 грани, в 8 вершинах (расположенных так же, как вершины куба) сходятся меньшими углами по 6 граней.

    У тетракисгексаэдра 36 рёбер — 12 «длинных» (расположенных так же, как рёбра куба) и 24 «коротких».Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен arccos ⁡ ( − 4 5 ) ≈ 143 , 13 ∘ .<5>>right)approx 143<,>13^.>

    Тетракисгексаэдр можно получить из куба, приложив к каждой его грани правильную четырёхугольную пирамиду с основанием, равным грани куба, и высотой, которая ровно в 4 раза меньше стороны основания.При этом полученный многогранник будет иметь по 4 грани вместо каждой из 6 граней исходного — с чем и связано его название.

    Тетракисгексаэдр — одно из трёх каталановых тел, в которых существует эйлеров путь.

    Триакистетра́эдр (от др.-греч.τριάχις — «трижды», τέτταρες — «четыре» и ἕδρα — «грань»), также называемый тригон-тритетраэдром, — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный усечённому тетраэдру.Составлен из 12 одинаковых тупоугольных равнобедренных треугольников, в которых один из углов равен arccos ⁡ ( − 7 18 ) ≈ 112 , 89 ∘ , <18>>right)approx 112<,>89^,> а два других arccos 5 6 ≈ 33 , 56 ∘ .<6>>approx 33<,>56^.>

    Имеет 8 вершин; в 4 вершинах (расположенных так же, как вершины правильного тетраэдра) сходятся своими острыми углами по 6 граней, в 4 вершинах (расположенных так же, как вершины другого правильного тетраэдра) сходятся тупыми углами по 3 грани.

    У триакистетраэдра 18 рёбер — 6 «длинных» (расположенных так же, как рёбра правильного тетраэдра) и 12 «коротких».Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен arccos ⁡ ( − 7 11 ) ≈ 129 , 52 ∘ .<11>>right)approx 129<,>52^.>

    Триакистетраэдр можно получить из правильного тетраэдра, приложив к каждой его грани правильную треугольную пирамиду с основанием, равным грани тетраэдра, и высотой, которая в 5 6 2 ≈ 6 , 12 >><2>>approx 6<,>12> раз меньше стороны основания.При этом полученный многогранник будет иметь по 3 грани вместо каждой из 4 граней исходного — с чем и связано его название.

    Усечённый додека́эдр — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 32 гранями, составленный из 20 правильных треугольников и 12 правильных десятиугольников.

    В каждой из его 60 одинаковых вершин сходятся две десятиугольных грани и одна треугольная.Телесный угол при вершине равен 2 π − arccos ⁡ ( − 5 3 ) ≈ 1 , 23 π .><3>>right)approx 1<,>23pi .>

    Усечённый додекаэдр имеет 90 рёбер равной длины.При 30 рёбрах (между двумя десятиугольными гранями) двугранные углы равны arccos ⁡ ( − 5 5 ) ≈ 116 , 57 ∘ , ><5>>right)approx 116<,>57^,> как в додекаэдре; при 60 рёбрах (между треугольной и восьмиугольной гранями) arccos ⁡ ( − 5 + 2 5 15 ) ≈ 142 , 62 ∘ , >><15>>>right)approx 142<,>62^,> как в икосододекаэдре.

    Усечённый додекаэдр можно получить из обычного додекаэдра, «срезав» с того 20 правильных треугольных пирамид, — либо как пересечение имеющих общий центр додекаэдра и икосаэдра.

    Усечённый куб — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 14 гранями, составленный из 8 правильных треугольников и 6 правильных восьмиугольников.

    В каждой из его 24 одинаковых вершин сходятся две восьмиугольных грани и одна треугольная.Телесный угол при вершине равен arccos ⁡ ( − 2 2 3 ) ≈ 0 , 89 π .>><3>>right)approx 0<,>89pi .>

    Усечённый куб имеет 36 рёбер равной длины.При 12 рёбрах (между двумя восьмиугольными гранями) двугранные углы прямые, как в кубе; при 24 рёбрах (между треугольной и восьмиугольной гранями) двугранные углы тупые и равны arccos ⁡ ( − 3 3 ) ≈ 125 , 26 ∘ , ><3>>right)approx 125<,>26^,> как в кубооктаэдре.

    Усечённый куб можно получить из обычного куба, «срезав» с того 8 правильных треугольных пирамид, — либо как пересечение имеющих общий центр куба и октаэдра.

    Усечённый октаэдр — полуправильный многогранник, состоящий из 14 граней (8 правильных шестиугольников и 6 квадратов).В усечённом октаэдре 24 одинаковых вершины, в каждой из которых сходятся два шестиугольника и квадрат, а также 24 ребра, каждое из которых разделяет шестиугольник и квадрат, и 12 рёбер, каждое из которых разделяет два шестиугольника.Двойственный к усечённому октаэдру многогранник — преломлённый куб или тетракисгексаэдр.

    Для усечённого октаэдра с длиной ребра a можно выразить некоторые количественные характеристики:

    Представляет собой один из многогранников, замощающих трёхмерное пространство.Ячейка в форме усечённого октаэдра используется при моделировании молекулярной динамики с периодическими граничными условиями для увеличения эффективности вычислений по сравнению с ячейками в форме параллелепипеда.

    Усечённый тетра́эдр — полуправильный многогранник, получающийся из тетраэдра удваиванием количества сторон у граней, и на месте вершин создаются новые грани.

    Рейтинг автора
    Автор статьи
    Валентин Пырьев
    Написано статей
    1036
    Ссылка на основную публикацию